Elektronika

Edukativni tekstovi iz sveta elektronike

Komponente

Opisi komponenata koje se koriste u elektronici

Novosti

Najnovije vesti iz elektronike i ostalih srodnih oblasti

Projekat

Projekti iz elektronike za samogradnju

Rečnik

Rečnik pojmova iz elektronike i računarstva

Početna » Digitalna Elektronika

Vrste Brojnih Sistema

Autor | Subota, 27. Jun 2009.Nema komentara

Moderni računarski sistemi ne predstavljaju numeričke vrednosti korišćenjem decimalnog brojnog sistema na koji smo navikli u svakodnevnom životu. Da bi smo razumeli ograničenja računarske aritmetike moramo najpre razumeti na koje se načine brojevi mogu predstaviti i kako se to vrši u računaru.

Pre oko 5000 godina, prvi brojni sistemi razvili su se spontano u različitim kulturama i skoro svaka civilizacija je razvila svoj jezik i brojni sistem. Ne postoji zvanična klasifikacija brojnih sistema. Mnogi naučnici, naročito francuska matematičarka Genevieve Guitel, smatraju da se brojni sistemi trebaju podeliti u dve grupe: pozicione i aditivne.

Georges Ifrah u svom delu “Opšta istorija brojeva: od praistorije do otkrića modernog računara” daje detaljniju podelu brojnih sistema dodavanjem još jedne grupe brojnih sistema koju naziva hibridnim.

Aditivni brojni sistemi

Aditivni brojni sistemi su sistemi gde pozicija cifre koja opisuje broj ne određuje svojstvo te cifre. Ovakav slučaj imamo u brojnom sistemu starih Rimljana, Maja, Egipćana… Ovaj sistem je zasnovan na određenim znacima kojima su dodeljene određene vrednosti (slika 1.).

a) Brojni sistem južnoameričkih Maja b) Brojni sistem Egipćana
Slika 1. Primer aditivnih brojnih sistem

Cifre ovakvih sistema uvek predstavljaju istu vrednost bez obzira gde se nalaze, a konačna vrednost broja dobija se sabiranjem svih cifara (slika 2.).

Slika 2. Prikaz broja u egipatskim hijeroglifima

Nekad redosled pisanja cifara može uticati na konačnu vrednost broja. Ovo se javlja kod rimskih cifara, gde se pored sabiranja nekad koristi i oduzimanje za određivanje konačne vrednosti broja. Dva broja u rimskih ciframa sa istim ciframa imaju različitu vrednost: IV predstvalja broj 4, a VI predstavlja broj 6.

DCCLXXIX + CDXLVIII = MCCXXVII
779   +   448    =   1227

Slika 3. Sabiranje sa rimskim brojevima

Ukoliko pokušamo da saberemo dva broja predstavljena rimskim ciframa (slika 3.), uočićemo koliko su ovi nepozicioni brojni sistemi nepraktični za izvođenje aritmetičkih operacija, čak i onih najosnovnijih. Iz navedenog razloga ovakvi brojni sistemi se nisu razvili za izvođenje aritmetičkih operacija, nego se prešlo na pozicione brojne sisteme.

Hibridni brojni sistemi

Hibridni brojni sistem za predstavljanje brojeva koristi sabiranje i množenje cifara. Na svetu postoji samo nekoliko hibridnih brojnih sistema, od kojih je najpoznatiji kineski brojni sistem, prikazan na slici 4.

Slika 4. Kineski brojni sistem

Kineski brojni sistem ima simbole za brojeve od 1 do 9 i za brojeve 10, 100, 1000, 10000. Nula u ovom brojnom sistemu ne postoji, ali je u kasnijem periodu dodat simbol za nju. Određivanje vrednosti broja predstavljenog u kineskom brojnom sistemu vidi se na slici 5.

Slika 5. Kineski brojni sistem

Pozicioni ili težinski brojni sistemi

Pozicioni brojni sistemi su oni u kojima se težina cifre (njen udeo u ukupnoj vrednosti broja) određuje na osnovu njene pozicije u broju. Što je veća pozicija to je veći i njen udeo u vrednosti broja. Pozicije cifara levo od zareza imaju vrednosti 0, 1, 2, 3, …, a desno od zareza -1, -2,…

Pozicioni brojni sistem sa bazom b se definiše sledećim pravilom:

(...a3a2a1a0.a-1a-2...)b = ... + a3*b3 + a2*b2 + a1*b1 + a0*b0 + a-1*b-1 + a-2*b-2 + ...

U opštem slučaju za bazu b se može uzeti bilo koji broj različit od nule i za cifre a se može izabrati bilo kakav set specifičnih cifara. Ukoliko generalizujemo malo situaciju sa izborom baze b i cifara a, tako da se za bazu može uzeti samo prirodan broj veći od 1, a cifre biramo tako da su to uvek celi brojevi u intervalu 0 ? ak < b, tada dobijamo standardne brojne sisteme koji su u upotrebi: binarni (b=2), kvarterni (b=4), oktalni (b=8), decimalni (b=10), heksadecimalni (b=16).

Tačka koja se pojavljuje između cifre a0 i a-1 razdvaja ceo deo broja od razlomljenog. Krajnja leva cifra naziva se najznačajnija cifra, dok je krajnja desna cifra najmanje značajna cifra. Ovakvi nazivi proizilaze iz činjenice da krajnja leva cifra najviše učestvuje u iskazivanju vrednosti broja, a krajnja desna najmanje.

Decimalni brojni sistem

Konvecionalni decimalni brojni sistem je široko u upotrebi i ljudi su navikli da ga koriste bez prevelikog razmišljanja o njemu. On je u suštini samo specijalan slučaj pozicionog brojnog sistema, gde je za bazu uzet broj deset, a cifre a su decimalni simboli (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Na ovaj način dolazimo do sledeće reprezentacije brojeva u ovom brojnom sistemu:

(...a3a2a1a0.a-1a-2...)10 = ...+a3*103+a2*102+a1*101+a0*100+a-1*10-1+a-2*10-2+...

Jedan broj zapisan kao 147.82 (sa predpostavkom da je u decimalnom brojnom sistemu) može se predstaviti kao:

147.82 = 1*102 + 4*101 + 7*100 + 8*10-1 + 2*10-2

Leave your response!

You must be logged in to post a comment.